Comprendre les contraintes de cisaillement en flexion et les conditions de résistance des poutres

Imaginez un pont supportant le poids de milliers de voitures chaque jour. Qu'est-ce qui fait qu'il ne s'effondre pas sous la pression ? Le secret réside dans la compréhension des principes de la contrainte de cisaillement par flexion et des conditions de résistance des poutres. La contrainte de cisaillement en flexion joue un rôle crucial dans la détermination de la capacité d'une poutre à supporter des charges sans se rompre. Mais comment l'effort de cisaillement se répartit-il exactement sur la section transversale d'une poutre, et quels calculs sont essentiels pour les ingénieurs afin de garantir la sécurité et l'efficacité ?

Dans cette plongée technique, nous allons démêler les complexités de la force de cisaillement et des moments de flexion, explorer la dérivation et l'application de la formule de la contrainte de cisaillement τ=VQ/It, et comparer les différences entre la contrainte normale et la contrainte de cisaillement dans la conception de la poutre. En examinant des exemples pratiques et des diagrammes détaillés, vous acquerrez une compréhension complète de la manière dont ces forces interagissent et affectent la résistance globale des poutres. Alors, êtes-vous prêt à renforcer vos connaissances et à vous plonger dans les mécanismes qui assurent la solidité de nos structures ? Commençons.

Introduction aux contraintes de flexion et de cisaillement dans les poutres

Comprendre les contraintes de flexion et de cisaillement

Les contraintes de flexion et de cisaillement jouent un rôle essentiel dans l'intégrité structurelle et les performances des poutres dans diverses conditions de chargement. Ces contraintes se produisent lorsque des forces externes agissent sur une poutre, créant des forces internes qui peuvent entraîner une déformation et une défaillance potentielle si elles ne sont pas correctement prises en compte lors de la conception.

Contraintes de flexion

La contrainte de flexion se produit lorsqu'une poutre est soumise à des charges externes qui la font plier. Ce type de contrainte est réparti sur la section transversale de la poutre d'une manière qui varie linéairement par rapport à l'axe neutre, qui est l'axe passant par le centroïde de la poutre où la contrainte est nulle.

Distribution des contraintes de flexion

• Compression et tension: Dans un scénario de flexion, les fibres de la poutre situées au-dessus de l'axe neutre sont comprimées, tandis que celles situées en dessous sont en tension. Cela crée une distribution linéaire des contraintes sur toute la hauteur de la section transversale de la poutre, la contrainte maximale se situant au niveau des fibres les plus extérieures, les plus éloignées de l'axe neutre.
• Contrainte maximale: La contrainte en tout point de la poutre peut être calculée à l'aide de la formule (
  σ=(M⋅y)/I), où (σ) est la contrainte de flexion, (M) le moment de flexion, (y) la distance par rapport à l'axe neutre et (I) le moment d'inertie.

Contraintes de cisaillement

Les contraintes de cisaillement résultent de forces qui agissent parallèlement à la section transversale de la poutre. Ces forces font glisser les couches du matériau les unes par rapport aux autres, ce qui entraîne une déformation par cisaillement.

Distribution des contraintes de cisaillement

• Distribution parabolique: Dans une poutre rectangulaire, la contrainte de cisaillement est maximale au niveau de l'axe neutre et diminue jusqu'à devenir nulle au niveau des surfaces supérieures et inférieures.
• Poutres en I: Pour les poutres en I, la majeure partie de l'effort de cisaillement est supportée par l'âme, ce qui se traduit par une répartition différente où l'effort de cisaillement est plus concentré dans l'âme que dans les ailes.

Calcul de la contrainte de cisaillement

La contrainte de cisaillement en tout point peut être calculée avec (τ=(V⋅Q)/(I⋅b)), où (τ) est la contrainte de cisaillement, (V) la force de cisaillement, (Q) le premier moment de l'aire au-dessus du point, (I) le moment d'inertie, et (b) la largeur de la section.

Importance de la compréhension des contraintes de flexion et de cisaillement

Une compréhension approfondie des contraintes de flexion et de cisaillement est essentielle pour la conception et l'analyse des poutres en ingénierie. Ces contraintes déterminent la capacité de la poutre à résister aux charges sans se rompre. Les ingénieurs doivent calculer et prendre en compte ces contraintes avec précision pour s'assurer que la conception de la poutre est à la fois sûre et efficace.

Développements récents

Les progrès de la science des matériaux et des méthodes de calcul ont considérablement amélioré la précision de l'analyse des contraintes dans les poutres. Les techniques modernes permettent d'analyser des géométries de poutres et des conditions de chargement plus complexes, améliorant ainsi les performances structurelles et l'efficacité des matériaux des poutres utilisées dans diverses applications d'ingénierie.

Concepts et diagrammes relatifs à l'effort de cisaillement et au moment de flexion

Définition de la force de cisaillement

L'effort de cisaillement est un concept fondamental de l'ingénierie structurelle, qui fait référence à la force interne agissant parallèlement à la section transversale d'une poutre. Elle résulte de charges externes appliquées perpendiculairement à la longueur de la poutre, provoquant le cisaillement ou le glissement du matériau le long d'un plan parallèle à la section transversale de la poutre. Cette force peut affecter de manière significative l'intégrité structurelle de la poutre et doit être soigneusement analysée et comprise dans la conception de la poutre.

Définition du moment de flexion

Le moment de flexion est un autre concept essentiel dans l'analyse des poutres, représentant le moment interne qui provoque la flexion d'une poutre. Il est créé par des charges externes qui produisent des forces de rotation le long de la poutre. Le moment de flexion à n'importe quelle section de la poutre est la somme des moments dus aux charges externes sur un côté de la section. Il est essentiel de comprendre les moments de flexion pour prévoir la déformation d'une poutre dans diverses conditions de charge.

Importance dans l'analyse des poutres

L'analyse des forces de cisaillement et des moments de flexion est essentielle pour concevoir des éléments structurels sûrs, car elle aide les ingénieurs à déterminer où se produisent les contraintes maximales à l'intérieur d'une poutre. En comprenant la distribution de ces forces internes, les ingénieurs peuvent prendre des décisions éclairées sur le matériau, la forme de la section transversale et les dimensions de la poutre.

Diagrammes des forces de cisaillement et des moments de flexion

Diagrammes de force de cisaillement

Les diagrammes de force de cisaillement représentent graphiquement la variation de la force de cisaillement sur la longueur d'une poutre. Ces diagrammes sont construits en traçant les valeurs de la force de cisaillement en différents points de la poutre. Les principales caractéristiques des diagrammes de force de cisaillement sont les suivantes :

• Charges concentrées: Ils provoquent un changement soudain (étape) dans le diagramme de force de cisaillement.
• Charges réparties: Ils entraînent une modification linéaire ou quadratique du diagramme de force de cisaillement, selon que la distribution de la charge est uniforme ou variable.
• Point de cisaillement zéro: Le point où la force de cisaillement est nulle, indiquant un maximum ou un minimum local dans le diagramme du moment de flexion.

Diagrammes des moments de flexion

Les diagrammes des moments de flexion illustrent la variation des moments de flexion sur la longueur d'une poutre. Ces diagrammes sont créés en traçant les valeurs du moment de flexion en différents points de la poutre. Les aspects importants des diagrammes de moment de flexion sont les suivants :

• Moments de concentration: Ils provoquent des changements soudains dans le diagramme du moment de flexion.
• Charges réparties: Ils entraînent des changements quadratiques dans le diagramme du moment de flexion.
• Moment de flexion maximal: Se produit souvent au point de cisaillement zéro, ce qui est critique pour la conception de la poutre.

Dessiner les diagrammes des forces de cisaillement et des moments de flexion

Pour tracer les diagrammes des forces de cisaillement et des moments de flexion, procédez comme suit :

1. Diagramme du corps libre: Commencez par dessiner la poutre et indiquez toutes les forces externes et les réactions d'appui.
2. Calculer les forces et les moments de réaction: Déterminez-les aux supports à l'aide des équations d'équilibre.
3. Construire un diagramme de force de cisaillement: Tracez l'effet de chaque charge sur la poutre pour visualiser la variation de la force de cisaillement.
4. Esquisse du diagramme du moment de flexion: Intégrer le diagramme de force de cisaillement pour représenter la variation du moment de flexion le long de la poutre.

Exemples pratiques

Pour une poutre simplement soutenue avec une charge concentrée en son point médian, commencez par dessiner la poutre et marquez la charge et les appuis. Calculez les réactions des appuis, qui seront égales et opposées à la moitié de la charge appliquée. Tracez le diagramme de la force de cisaillement, en notant le changement abrupt au point de charge. Enfin, tracez le diagramme du moment de flexion en intégrant les valeurs de la force de cisaillement, montrant un pic au point de charge.

Dérivation et explication des formules de contrainte de cisaillement (τ=(VQ)/(It))

La formule de la contrainte de cisaillement (τ=(VQ)/(It)) est essentielle pour comprendre comment la contrainte de cisaillement est répartie dans les poutres. Cette formule, dérivée des principes de la mécanique des matériaux, permet d'analyser les contraintes internes qui se produisent lorsque les poutres sont soumises à des charges externes.

Les variables et leur signification

• (τ): Contrainte de cisaillement en un point spécifique de la poutre.
• (V): Force de cisaillement agissant sur la poutre à la section où la contrainte de cisaillement est calculée.
• (Q): Premier moment de la zone située au-dessus ou au-dessous du point où la contrainte de cisaillement est calculée, par rapport à l'axe neutre.
• (I): Moment d'inertie de l'ensemble de la section transversale autour de l'axe neutre.
• (t): Epaisseur de la poutre au point d'intérêt, typiquement la largeur de la poutre dans la direction de la force de cisaillement.

Dérivation de la formule

La dérivation de la formule de contrainte de cisaillement implique plusieurs étapes, en commençant par comprendre comment la force et le moment de cisaillement affectent la poutre lorsqu'elle est soumise à une flexion. Lorsqu'une poutre se plie, elle subit à la fois des forces de cisaillement et des moments de flexion. La force de cisaillement (V) agit parallèlement à la section transversale, tandis que le moment de flexion (M) agit perpendiculairement à celle-ci.

En considérant un élément différentiel de la section transversale de la poutre, la contrainte de cisaillement (τ) dans cet élément varie le long de la hauteur de la section transversale de la poutre. Pour simplifier, supposons que la poutre a une section rectangulaire.

Pour qu'il y ait équilibre, la somme des forces de cisaillement internes doit être égale à la force de cisaillement externe (V). La force de cisaillement interne est l'intégrale de la contrainte de cisaillement (τ) sur la surface de la section transversale.

Le premier moment de l'aire (Q) est calculé pour la partie de la section transversale située au-dessus ou au-dessous du point d'intérêt. Il est égal à (Q=∫ydA), où (y) est la distance par rapport à l'axe neutre et (dA) l'élément de petite surface.

Le moment d'inertie (I) mesure la résistance de la poutre à la flexion. Il est calculé comme suit (
I=∫y²dA).

En combinant les expressions de l'équilibre, du premier moment de surface (Q) et du moment d'inertie (I), et en tenant compte de la géométrie de la section transversale de la poutre, on obtient la formule de la contrainte de cisaillement (τ=(VQ)/(It)).

Exemples de calculs

Appliquons la formule de la contrainte de cisaillement à une poutre rectangulaire avec une force de cisaillement connue (V).

1. Déterminer la force de cisaillement (V): Supposons que (V=5000N).

2. Calculer le moment d'inertie (I): Pour une section rectangulaire de largeur (b) et de hauteur (h), (I=(bh³)/12). Si (b=0,1m) et (h = 0,2m), alors (I=(0.1×(0.2)³)/12=6.67×10^-5m⁴).

3. Trouver le premier moment de l'aire (Q): Pour la zone située au-dessus du point d'intérêt (à mi-hauteur), (Q=1/2⋅A⋅y). Si l'on considère la zone située au-dessus de l'axe neutre (moitié supérieure), (A=0,1×0,1=0,01m²) et (y=0.1/2=0.05m). Par conséquent, (Q=0,01×0,05=5×10^-4m³).

4. Évaluer l'épaisseur (t): L'épaisseur (t) au point d'intérêt est la largeur de la poutre, (t=0,1m).

5. Calculer la contrainte de cisaillement (τ): En utilisant la formule (τ=(VQ)/(It)), substituer les valeurs : (τ=(5000×5×10^-4)/(6.67×10^-5×0,1)=37,5kPa).

   
   

Comprendre la contrainte de cisaillement en flexion

La répartition des contraintes de cisaillement dans une poutre n'est pas uniforme. Pour une poutre rectangulaire :

• Contrainte de cisaillement maximale: Apparaît à l'axe neutre et diminue vers les surfaces supérieures et inférieures.
• Distribution des contraintes: La distribution suit une courbe parabolique, avec une contrainte de cisaillement nulle aux fibres extérieures et maximale au centre.

Implications pratiques

Le calcul précis et la compréhension de la contrainte de cisaillement sont essentiels pour la sécurité et l'intégrité des poutres. Il s'agit notamment de s'assurer que la contrainte de cisaillement reste dans les limites du matériau afin d'éviter les défaillances et de choisir les formes de poutres et les matériaux adéquats pour une performance optimale.

Distribution de la contrainte de cisaillement à travers différentes sections transversales de la poutre

Distribution des contraintes de cisaillement

La distribution des contraintes de cisaillement dans les poutres est cruciale pour l'analyse et la conception des structures. Cette répartition varie en fonction de la forme de la section transversale de la poutre et des charges appliquées.

Section transversale d'une poutre rectangulaire

Dans une poutre rectangulaire, la distribution des contraintes de cisaillement est parabolique. La contrainte de cisaillement maximale se produit à l'axe neutre (le centre de la hauteur de la poutre) et diminue linéairement jusqu'à zéro aux surfaces supérieures et inférieures.

Pour calculer la contrainte de cisaillement maximale dans une poutre rectangulaire, utilisez la formule suivante :
τ_max=(3V)/(2A)
où (V) est la force de cisaillement et (A) la surface de la section transversale.

La contrainte de cisaillement (τ) à une distance (y) de l'axe neutre est donnée par :
τ=(3V)/(2A)(1-4y²/h²)
où (h) est la hauteur de la poutre. Il en résulte une variation quadratique, qui atteint son maximum à l'axe neutre et s'amenuise jusqu'à zéro aux limites.

Section transversale de la poutre en I

Contrairement aux poutres rectangulaires, la distribution des contraintes de cisaillement dans les poutres en I est plus complexe en raison des ailes et de la structure de l'âme.

L'âme supporte principalement l'effort de cisaillement. La contrainte de cisaillement maximale se produit à l'axe neutre et peut être calculée en utilisant :
τ=(VQ)/(It)
où (Q) est le premier moment de l'aire de la partie de la section transversale située au-dessus ou au-dessous du point où la contrainte de cisaillement est calculée, (I) est le moment d'inertie et (t) est l'épaisseur de l'âme.

Dans les poutres en I, la contrainte de cisaillement dans les ailes est beaucoup plus faible. La majeure partie de la force de cisaillement est concentrée dans l'âme.

Analyse comparative avec diagrammes

La comparaison de différentes sections de poutres met en évidence l'importance de la géométrie dans la distribution des contraintes de cisaillement.

Par exemple, dans une poutre en I typique utilisée dans les ponts, l'âme supporte la majeure partie de l'effort de cisaillement, tandis que les ailes contribuent à la résistance à la flexion. Alors que les poutres rectangulaires présentent une distribution lisse et parabolique, les poutres en I concentrent les contraintes de cisaillement dans l'âme. Cette concentration nécessite une conception soignée pour éviter le flambage de l'âme ou la rupture par cisaillement.

Les poutres en I sont efficaces en flexion en raison de leur moment d'inertie élevé, mais nécessitent une analyse détaillée des contraintes de cisaillement. Les poutres rectangulaires, bien que plus simples, répartissent le cisaillement de manière plus uniforme, mais peuvent ne pas être aussi efficaces en flexion.

La compréhension de ces distributions aide les ingénieurs à concevoir des poutres qui peuvent supporter en toute sécurité les charges appliquées sans dépasser les limites des matériaux.

Comparaison entre la contrainte normale et la contrainte de cisaillement dans la conception des poutres

Définition de la contrainte normale

La contrainte normale, souvent appelée contrainte de flexion, se produit dans les poutres lorsque des forces extérieures les font plier. Cette contrainte résulte des moments de flexion, qui créent une tension d'un côté de la poutre et une compression de l'autre. La contrainte normale (σ) est calculée à l'aide de la formule suivante :

où :

• (M) est le moment de flexion,
• (y) est la distance par rapport à l'axe neutre,
• (I) est le moment d'inertie.

Définition de la contrainte de cisaillement

La contrainte de cisaillement se produit lorsque les forces agissent perpendiculairement à l'axe de la poutre, provoquant le glissement des couches du matériau les unes par rapport aux autres. Cette contrainte est plus importante près des appuis et diminue vers le centre de la poutre pour les poutres simplement soutenues. La contrainte de cisaillement moyenne (τ_moyenne) est calculée en utilisant :

où :

• (F) est la force de cisaillement appliquée,
• (A) est la surface de la section transversale.

La contrainte de cisaillement suit une distribution parabolique, avec la contrainte maximale à l'axe neutre et diminuant vers les surfaces supérieures et inférieures de la poutre.

Différences entre contrainte normale et contrainte de cisaillement

Nature des forces

• Contrainte normale: Les moments de flexion provoquent des tensions et des compressions sur toute la longueur de la poutre.
• Contrainte de cisaillement: résulte des forces de cisaillement agissant perpendiculairement à l'axe de la poutre, provoquant un glissement entre les couches de matériau.

Distribution des contraintes

• Contrainte normale: Varie linéairement sur la hauteur de la poutre, avec une contrainte maximale sur les fibres extérieures les plus éloignées de l'axe neutre.
• Contrainte de cisaillement: Suit une distribution parabolique, avec une contrainte maximale à l'axe neutre et s'amenuisant jusqu'à zéro aux limites.

Modes de défaillance

• Contrainte normale: Peut conduire à une rupture par flexion, en particulier dans les poutres élancées ou longues. Ce type de rupture se produit lorsque le matériau dépasse sa résistance à la traction ou à la compression.
• Contrainte de cisaillement: Peut provoquer une rupture par cisaillement, qui est plus fréquente dans les poutres épaisses ou courtes. La rupture par cisaillement se produit lorsque le matériau ne peut pas résister aux forces de glissement.

Implications pratiques dans la conception des poutres

Le choix de matériaux présentant un rapport résistance/poids élevé est crucial pour optimiser la conception des poutres. Les matériaux doivent résister aux contraintes de flexion et de cisaillement sans compromettre l'intégrité structurelle. Les composites avancés et les alliages d'acier à haute résistance sont souvent utilisés pour leurs performances supérieures.

Sélection des matériaux

La sélection de matériaux présentant un rapport résistance/poids élevé est essentielle pour une conception efficace des poutres. Ces matériaux doivent résister aux contraintes de flexion et de cisaillement, garantissant ainsi l'intégrité structurelle de la poutre. Les composites avancés et les alliages d'acier à haute résistance sont souvent choisis pour leurs caractéristiques de performance améliorées.

Forme du faisceau

La forme de la section transversale d'une poutre a un impact significatif sur sa capacité à résister aux contraintes de flexion et de cisaillement. Les poutres rectangulaires répartissent plus uniformément les contraintes de cisaillement mais peuvent ne pas être aussi efficaces en flexion. Les poutres en I concentrent les contraintes de cisaillement dans l'âme, ce qui nécessite une conception minutieuse pour éviter le flambage de l'âme.

Considérations relatives à la conception

Les ingénieurs doivent tenir compte des contraintes de flexion et de cisaillement lors de la conception des poutres. Ils doivent donc effectuer des calculs détaillés pour s'assurer que les dimensions de la poutre et les propriétés des matériaux peuvent supporter les charges appliquées. Le choix de la forme et du matériau de la poutre influence directement ses performances et sa sécurité.

Développements récents

Les progrès de la science des matériaux ont conduit au développement de nouveaux matériaux dotés de propriétés de résistance accrues. Ces matériaux offrent une meilleure résistance aux contraintes de flexion et de cisaillement, ce qui permet de concevoir des poutres plus efficaces. Les méthodes de calcul ont également évolué, permettant une analyse plus précise des géométries complexes des poutres et des conditions de chargement.

Formule de flexion et son application dans la conception des poutres

Explication de la formule de flexion

La formule de flexion permet de calculer la contrainte de flexion en tout point de la longueur d'une poutre. Elle s'exprime comme suit :

où :

• (σ) est la contrainte de flexion,
• (M) est le moment de flexion,
• (c) est la distance par rapport à l'axe neutre,
• (I) est le moment d'inertie de la section transversale de la poutre.

Les variables et leur signification

Moment d'inertie (I)

Le moment d'inertie mesure la résistance d'une poutre à la flexion et dépend de la forme et de la taille de sa section transversale. Pour une section rectangulaire, il se calcule comme suit :

où (b) est la largeur et (h) la hauteur.

Moment de flexion (M) et distance de l'axe neutre (c)

Le moment de flexion (M) à une section d'une poutre résulte de charges, de réactions et de moments externes. La distance par rapport à l'axe neutre (c) est mesurée à partir de l'axe passant par le centroïde de la section transversale de la poutre, où la contrainte de flexion est nulle.

Exemples de calculs

Pour une poutre simplement soutenue avec une section rectangulaire soumise à une charge ponctuelle centrale, le moment de flexion maximal au point médian est (M=1/4PL). En utilisant une section rectangulaire de largeur (b) et de hauteur (h), le moment d'inertie est :

La distance par rapport à l'axe neutre est de :

La contrainte de flexion est alors

Applications pratiques

Lors de la conception des poutres, les ingénieurs prennent en compte les propriétés des matériaux telles que le module d'élasticité et la limite d'élasticité, qui influencent la résistance de la poutre à la flexion. Le dimensionnement correct de la largeur et de la hauteur de la poutre permet de s'assurer qu'elle peut supporter les charges prévues sans déviation excessive. En outre, les ingénieurs doivent vérifier que l'armature est suffisante, en particulier pour les poutres en béton, et prendre en compte les contraintes de cisaillement dues aux forces transversales afin d'éviter toute défaillance.

Conditions de résistance et critères de rupture liés aux contraintes de flexion et de cisaillement

Conditions de résistance des poutres

La résistance d'une poutre fait référence à sa capacité à supporter les charges appliquées sans se rompre en raison de contraintes excessives. Les poutres sont soumises à des contraintes de flexion et de cisaillement, qui peuvent entraîner différents types de défaillance. Il est essentiel de comprendre ces conditions pour concevoir des structures sûres et efficaces.

Résistance à la flexion

La résistance à la flexion, également connue sous le nom de résistance à la flexion, est la contrainte maximale qu'une poutre peut supporter sans se rompre, déterminée par la contrainte de flexion maximale que le matériau peut supporter. La contrainte de flexion dans une poutre est donnée par la formule de flexion :

où :

• (σ) est la contrainte de flexion,
• (M) est le moment de flexion,
• (c) est la distance entre l'axe neutre et la fibre la plus extérieure,
• (I) est le moment d'inertie de la section transversale.

La contrainte de flexion maximale ne doit pas dépasser la limite d'élasticité du matériau pour les matériaux ductiles ou la résistance ultime pour les matériaux fragiles, car cela peut entraîner une déformation permanente ou une fracture.

Résistance au cisaillement

La résistance au cisaillement est la capacité d'une poutre à résister aux forces qui provoquent un glissement ou une coupure sans se rompre. La contrainte de cisaillement est calculée à l'aide de la formule suivante

où :

• (τ) est la contrainte de cisaillement,
• (V) est la force de cisaillement,
• (Q) est le premier moment de l'aire au-dessus du point où la contrainte de cisaillement est calculée,
• (I) est le moment d'inertie,
• (t) est l'épaisseur du matériau au point d'intérêt.

La contrainte de cisaillement maximale ne doit pas dépasser la résistance au cisaillement du matériau. Si c'est le cas, la poutre peut subir une rupture par cisaillement, caractérisée par un glissement ou un éclatement le long du plan de la force de cisaillement appliquée.

Critères de défaillance dans la conception des structures

Il est essentiel de comprendre les critères de défaillance liés aux contraintes de flexion et de cisaillement pour concevoir des poutres sûres et fiables. La rupture peut se produire selon différents modes en fonction du type de contrainte et des propriétés du matériau de la poutre.

Défaillance de la flexion

La rupture par flexion se produit lorsque la contrainte de flexion dépasse la résistance du matériau, ce qui entraîne une cédulation dans les matériaux ductiles ou une fracture dans les matériaux fragiles. Ce type de rupture est fréquent dans les poutres élancées soumises à des moments de flexion importants.

Rupture par cisaillement

La rupture par cisaillement se produit lorsque la contrainte de cisaillement dépasse la résistance au cisaillement du matériau. Ce phénomène est plus probable dans les poutres courtes et épaisses où les forces de cisaillement sont élevées par rapport aux moments de flexion. La rupture par cisaillement peut être identifiée par des fissures de cisaillement ou un flambage de l'âme dans les poutres à âme mince, telles que les poutres en I.

Importance de comprendre la résistance des poutres

La conception des poutres pour résister aux contraintes de flexion et de cisaillement implique un examen minutieux des propriétés du matériau, des dimensions de la section transversale et des conditions de chargement. Les ingénieurs doivent s'assurer que les contraintes dans la poutre ne dépassent pas les limites de résistance du matériau afin d'éviter toute défaillance.

Sélection des matériaux

Le choix de matériaux appropriés présentant une limite d'élasticité et une résistance au cisaillement élevées est crucial pour la conception des poutres. Les matériaux tels que l'acier à haute résistance, le béton armé et les composites avancés offrent des performances supérieures sous les contraintes de flexion et de cisaillement.

Conception transversale

La forme et la taille de la section transversale de la poutre influencent considérablement sa résistance. Les sections transversales courantes sont les suivantes : rectangulaire, en I et circulaire, chacune présentant des avantages distincts en matière de résistance aux forces de flexion et de cisaillement.

Renforcement et détails

Pour améliorer la capacité de cisaillement des poutres soumises à des forces de cisaillement élevées, il est possible d'utiliser des renforts supplémentaires tels que des étriers de cisaillement ou des raidisseurs d'âme. Des détails appropriés permettent à la poutre de répartir efficacement les contraintes et d'éviter les ruptures localisées.

La compréhension des conditions de résistance et des critères de défaillance liés aux contraintes de flexion et de cisaillement permet aux ingénieurs de concevoir des poutres à la fois sûres et efficaces, capables de supporter les charges requises sans risque de défaillance.

Exemples pratiques et étapes de calcul pour les types de poutres les plus courants

Exemple de calcul pour une poutre rectangulaire

Poutre en appui simple avec charge ponctuelle centrale

Imaginez une poutre rectangulaire simplement soutenue, soumise à une charge ponctuelle centrale ( P ). Ce type de poutre est couramment utilisé dans les ponts et les structures de bâtiments, où la compréhension des forces de cisaillement est cruciale pour la sécurité.

1. Déterminer l'effort de cisaillement et calculer le moment d'inertie:

   • L'effort de cisaillement au niveau de chaque support est égal à la moitié de la charge totale ( V=P/2 ).
   • Le moment d'inertie d'une section rectangulaire est ( I=(bh³)/12 ).

2. Calculer le premier moment de l'aire:

   • Pour une section rectangulaire, le premier moment de l'aire ( Q ) est calculé comme suit :
   • ( Q=1/2⋅A⋅y ), où ( A ) est la surface au-dessus du point d'intérêt et ( y ) la distance par rapport à l'axe neutre.
   • En substituant les valeurs, ( Q=1/2⋅b⋅h/2⋅h/4=1/8bh² ).

3. Calculer la contrainte de cisaillement:

   • La contrainte de cisaillement ( τ ) est déterminée à l'aide de la formule ( τ=(VQ)/(It) ), où ( t ) est la largeur ( b ) de la poutre.
   • Décomposition du calcul :
   • τ=(P/2⋅(bh²)/8)/((bh³)/12⋅b).
   • En simplifiant, ( τ=(3P)/(4bh) ).

Exemple de calcul pour une poutre en I

Poutre en I en appui simple avec charge uniformément répartie

Imaginons une poutre en I simplement soutenue et soumise à une charge uniformément répartie ( w ) sur sa longueur ( L ). Les poutres en I sont largement utilisées dans la construction en raison de leur efficacité à supporter des charges de flexion.

1. Déterminer l'effort de cisaillement et calculer le moment d'inertie:

   • L'effort de cisaillement sur chaque support est égal à la moitié de la charge totale ( V=1/2wL ).
   • Le moment d'inertie ( I ) d'une poutre en I est généralement fourni ou peut être calculé sur la base des dimensions de l'aile et de l'âme.

2. Calculer le premier moment de l'aire:

   • Pour l'âme de la poutre en I, le premier moment de surface ( Q ) est calculé pour la surface au-dessus du point d'intérêt, généralement l'axe neutre.
   • Si la hauteur de l'âme est ( h_w ) et l'épaisseur est ( t_w ), ( Q=1/4h_w²t_w ).

3. Calculer la contrainte de cisaillement:

   • La contrainte de cisaillement ( τ ) est déterminée à l'aide de la formule ( τ=(VQ)/(It) ), où ( t ) est l'épaisseur de l'âme ( t_w ).
   • Décomposition du calcul :
   • ( τ=(1/2wL⋅1/4h_w²t_w)/(I⋅t_w))
   • En simplifiant, ( τ=(wLh_w²)/(8I) ).

Poutre en porte-à-faux avec charge uniforme

Poutre en porte-à-faux avec charge uniformément répartie

Imaginez une poutre en porte-à-faux soumise à une charge uniformément répartie ( w ) sur sa longueur ( L ). Les poutres en porte-à-faux sont souvent utilisées dans les balcons et les structures en surplomb, où elles supportent des charges à une extrémité tout en étant fixées à l'autre.

1. Déterminer l'effort de cisaillement et calculer le moment d'inertie:

   • L'effort de cisaillement au niveau du support fixe est la charge totale ( V = wL ).
   • Le moment d'inertie d'une section rectangulaire est (I=1/12bh³ ).

2. Calculer le premier moment de l'aire:

   • Pour une section rectangulaire, le premier moment de l'aire ( Q ) est calculé comme suit :
   • ( Q=1/2⋅b⋅h/2⋅h/4=1/8bh² ).

3. Calculer la contrainte de cisaillement:

   • La contrainte de cisaillement ( τ ) est déterminée à l'aide de la formule ( τ=(VQ)/(It)), où ( t ) est la largeur ( b ) de la poutre.
   • Décomposition du calcul :
   • ( τ=(wL⋅1/8bh²)/(1/12bh³⋅b )
   • En simplifiant, ( τ=(3wL)/(2bh)).

La compréhension de ces calculs est essentielle pour garantir la sécurité et l'intégrité structurelle des poutres dans diverses conditions de chargement.

Questions fréquemment posées

Vous trouverez ci-dessous les réponses à certaines questions fréquemment posées :

Qu'est-ce que la contrainte de cisaillement par flexion et comment affecte-t-elle la résistance des poutres ?

La contrainte de cisaillement en flexion est un type de contrainte interne qui apparaît dans une poutre lorsqu'elle est soumise à des charges transversales. Cette contrainte se produit parallèlement à la section transversale de la poutre et résulte de la force de cisaillement agissant sur la longueur de la poutre. Elle est fondamentalement différente des contraintes normales causées par les moments de flexion, qui agissent perpendiculairement à la section transversale.

L'apparition d'une contrainte de cisaillement par flexion est due à la résistance des couches de matériaux de la poutre à glisser l'une sur l'autre sous l'effet de la charge. Cette résistance au glissement est similaire à la friction subie par des cartes à jouer empilées lorsqu'elles sont pliées. La répartition des contraintes de cisaillement sur la section transversale de la poutre est généralement maximale près de l'axe neutre et diminue vers les bords extérieurs.

Les contraintes de cisaillement en flexion ont un impact significatif sur la résistance des poutres. Une contrainte de cisaillement excessive peut entraîner une rupture par cisaillement, où le matériau se fissure ou glisse le long de plans parallèles à la force appliquée. Ce phénomène est différent de la rupture par flexion, qui implique une déformation ou une rupture due à des contraintes normales. Dans la conception des poutres, en particulier pour les poutres courtes, épaisses ou fortement chargées, la contrainte de cisaillement par flexion peut être le facteur dominant, nécessitant une attention particulière pour s'assurer qu'elle reste dans les limites de sécurité afin d'éviter une rupture prématurée. En outre, la contrainte de cisaillement par flexion influence le comportement de déflexion des poutres, contribuant ainsi à l'intégrité et aux performances structurelles globales.

Comment les contraintes de cisaillement sont-elles réparties sur la section transversale d'une poutre ?

La distribution des contraintes de cisaillement sur la section transversale d'une poutre est un aspect important de la conception et de l'analyse des poutres. La contrainte de cisaillement est due aux forces de cisaillement agissant sur la poutre et varie sur la hauteur de la section transversale. Pour une poutre rectangulaire, la distribution est parabolique, la contrainte de cisaillement étant nulle sur les surfaces supérieure et inférieure et atteignant un maximum au niveau de l'axe neutre. Cette contrainte de cisaillement maximale est généralement supérieure de 50% à la contrainte de cisaillement moyenne. Le centroïde, par lequel passe l'axe neutre, joue un rôle crucial dans cette distribution symétrique. En outre, les contraintes de cisaillement horizontales entre les couches horizontales de la poutre sont égales en magnitude aux contraintes de cisaillement verticales transversales aux points correspondants. Il est essentiel de comprendre cette distribution pour évaluer la résistance de la poutre et prévenir les défaillances dans les conditions de charge.

Quelles sont les formules utilisées pour calculer la contrainte de cisaillement dans les poutres ?

La contrainte de cisaillement dans les poutres est calculée à l'aide de la formule générale de la contrainte de cisaillement :

où :

• ( τ ) est la contrainte de cisaillement,
• ( V ) est la force de cisaillement,
• ( Q ) est le premier moment de l'aire (l'aire de la partie de la section transversale de la poutre au-dessus ou au-dessous de l'axe neutre, multipliée par la distance de l'axe neutre au centroïde de cette aire),
• ( I ) est le moment d'inertie de la section transversale de la poutre autour de son axe neutre,
• ( t ) est l'épaisseur de la poutre au point où la contrainte de cisaillement est calculée.

Pour des formes de poutres spécifiques, des formules supplémentaires sont utilisées :

• Poutres rectangulaires: La contrainte de cisaillement maximale est calculée comme suit :
  τ_max=(3V)/(2A),
  où ( A ) est la surface de la section transversale. La distribution des contraintes de cisaillement varie en fonction de la distance par rapport à l'axe neutre :
  τ=(3V)/(2A)(1-y²/(d/2)²),
  où ( y ) est la distance par rapport à l'axe neutre et ( d ) la profondeur du faisceau.
• Poutres circulaires: La contrainte de cisaillement maximale à l'axe centroïde est :
  τ_max=4V/(πd²),
  où ( d ) est le diamètre de la poutre circulaire.
• Poutres en I: Le calcul de la contrainte de cisaillement maximale est plus complexe en raison de la géométrie de la poutre, impliquant des termes liés aux dimensions de l'âme et de l'aile.

La compréhension de ces formules et de leur application est essentielle pour analyser la résistance des poutres et garantir l'intégrité structurelle dans diverses conditions de charge.

Comment le moment de flexion et l'effort tranchant interagissent-ils dans la conception des poutres ?

Dans la conception des poutres, le moment de flexion et la force de cisaillement sont des forces internes critiques qui interagissent et influencent de manière significative la résistance et le comportement structurel de la poutre. Le moment de flexion (M) induit des contraintes de flexion qui varient linéairement sur la section transversale de la poutre, la contrainte maximale se produisant au niveau des fibres les plus externes et la contrainte nulle au niveau de l'axe neutre. D'autre part, la force de cisaillement (V) génère des contraintes de cisaillement qui suivent une distribution parabolique, avec un maximum à l'axe neutre et une diminution jusqu'à zéro sur les bords extérieurs.

L'action simultanée du moment de flexion et de la force de cisaillement signifie qu'une poutre doit être conçue pour résister à ces deux types de contraintes. Les moments de flexion contribuent principalement aux contraintes de traction et de compression, affectant la capacité de la poutre à résister à la flexion, tandis que les forces de cisaillement ont un impact sur la capacité de cisaillement de la poutre. Les ingénieurs utilisent les diagrammes des forces de cisaillement et des moments de flexion pour identifier les sections critiques où les contraintes maximales se produisent, guidant ainsi la mise en place de renforts ou la sélection de sections transversales de poutre appropriées.

Les relations mathématiques régissant ces contraintes sont exprimées par la formule de la contrainte de flexion (σ=My/I) et la formule de la contrainte de cisaillement (τ=VQ/(Ib)). Ces formules soulignent que les contraintes de flexion dépendent du moment et de la géométrie, tandis que les contraintes de cisaillement dépendent de la force de cisaillement et de la forme de la section transversale. Il est essentiel de comprendre l'interaction entre le moment de flexion et la force de cisaillement pour concevoir des poutres à la fois solides et sûres.

Quelle est la différence entre la contrainte normale et la contrainte de cisaillement dans les poutres ?

Les contraintes normales et les contraintes de cisaillement dans les poutres sont des types de contraintes fondamentalement différents qui résultent de conditions de chargement distinctes.

La contrainte normale (σ) est due aux moments de flexion et agit perpendiculairement à la section transversale de la poutre. Elle varie linéairement sur toute la profondeur de la poutre, étant nulle au niveau de l'axe neutre et maximale au niveau des fibres les plus externes, où elle peut être soit en traction, soit en compression, en fonction de l'emplacement par rapport à l'axe neutre. La formule de flexion, σ = My/I, est utilisée pour calculer la contrainte normale, où M est le moment de flexion, y est la distance par rapport à l'axe neutre et I est le moment d'inertie.

La contrainte de cisaillement (τ), quant à elle, résulte des forces de cisaillement agissant transversalement à l'axe longitudinal de la poutre. Elle agit parallèlement à la section transversale et varie généralement de manière non linéaire, la contrainte de cisaillement maximale se produisant près de l'axe neutre. La formule de la contrainte de cisaillement, τ = VQ/Ib, est utilisée pour son calcul, où V est la force de cisaillement, Q est le premier moment de la surface, I est le moment d'inertie, et b est la largeur de la poutre au point d'intérêt.

Qu'est-ce que la formule de flexion et comment est-elle appliquée dans la conception des poutres ?

La formule de flexion est essentielle dans la conception des poutres pour calculer les contraintes dues aux moments de flexion. La formule s'exprime comme suit :

où :

• (σ) est la contrainte de flexion en un point spécifique,
• (M) est le moment de flexion,
• (y) est la distance entre l'axe neutre et le point où la contrainte est calculée,
• (I) est le moment d'inertie de la section transversale de la poutre par rapport à l'axe neutre.

En pratique, cette formule aide les ingénieurs à déterminer les contraintes maximales dans une poutre, qui se produisent généralement sur les surfaces supérieures et inférieures les plus éloignées de l'axe neutre. Pour utiliser la formule de flexion, il faut :

1. Déterminez les dimensions de la section transversale de la poutre.
2. Calculer le moment d'inertie (I) en fonction de ces dimensions.
3. Identifier le moment de flexion maximal (M) agissant sur la poutre.
4. Utilisez la formule de flexion pour calculer la contrainte maximale (σ) à la surface de la poutre.

Ce processus permet de s'assurer que la conception de la poutre répond aux normes de résistance et de sécurité nécessaires, évitant ainsi toute défaillance structurelle dans les conditions de charge prévues.