Comprensión del esfuerzo cortante de flexión y de las condiciones de resistencia de la viga

Imaginemos un puente que soporta el peso de miles de coches cada día: ¿qué garantiza que no se derrumbe por el esfuerzo? El secreto reside en comprender los principios del esfuerzo cortante de flexión y las condiciones de resistencia de las vigas. El esfuerzo cortante de flexión desempeña un papel crucial a la hora de determinar la capacidad de una viga para soportar cargas sin fallar. Pero, ¿cómo se distribuye exactamente el esfuerzo cortante en la sección transversal de una viga y qué cálculos son esenciales para que los ingenieros garanticen la seguridad y la eficacia?

En esta profundización técnica, desentrañaremos las complejidades de la fuerza cortante y los momentos flectores, exploraremos la derivación y aplicación de la fórmula de la tensión cortante τ=VQ/It, y compararemos las diferencias entre la tensión normal y la tensión cortante en el diseño de vigas. Mediante el examen de ejemplos prácticos y diagramas detallados, obtendrá una comprensión global de cómo interactúan estas fuerzas y afectan a la resistencia global de las vigas. Entonces, ¿está preparado para reforzar sus conocimientos y profundizar en la mecánica que mantiene firmes nuestras estructuras? Empecemos.

Introducción a los esfuerzos de flexión y cortante en vigas

Comprender los esfuerzos de flexión y cizalladura

Las tensiones de flexión y cizalladura desempeñan un papel fundamental en la integridad estructural y el rendimiento de las vigas en diversas condiciones de carga. Estas tensiones se producen cuando fuerzas externas actúan sobre una viga, creando fuerzas internas que pueden causar deformaciones y posibles fallos si no se tienen en cuenta adecuadamente en el diseño.

Tensiones de flexión

El esfuerzo de flexión se produce cuando una viga está sometida a cargas externas que provocan su flexión. Este tipo de esfuerzo se distribuye a través de la sección transversal de la viga de una manera que varía linealmente desde el eje neutro, que es el eje que pasa por el centroide de la viga donde el esfuerzo es cero.

Distribución de la tensión de flexión

• Compresión y tensión: En una situación de flexión, las fibras de la viga situadas por encima del eje neutro están comprimidas, mientras que las situadas por debajo están en tensión. Esto crea una distribución lineal de la tensión en toda la altura de la sección transversal de la viga, con la tensión máxima en las fibras más externas, más alejadas del eje neutro.
• Tensión máxima: La tensión en cualquier punto de la viga puede calcularse mediante la fórmula (
  σ=(M⋅y)/I), siendo (σ) el esfuerzo de flexión, (M) el momento flector, (y) la distancia al eje neutro e (I) el momento de inercia.

Tensiones de cizallamiento

El esfuerzo de cizallamiento se produce por fuerzas que actúan paralelamente a la sección transversal de la viga. Estas fuerzas hacen que las capas del material se deslicen entre sí, lo que provoca una deformación por cizallamiento.

Distribución del esfuerzo cortante

• Distribución parabólica: En una viga rectangular, el esfuerzo cortante es mayor en el eje neutro y disminuye hasta cero en las superficies superior e inferior.
• Vigas en I: En las vigas en I, la mayor parte del esfuerzo cortante es soportado por el alma, lo que da lugar a una distribución diferente en la que el esfuerzo cortante está más concentrado en el alma que en las alas.

Cálculo del esfuerzo cortante

El esfuerzo cortante en cualquier punto puede calcularse con (τ=(V⋅Q)/(I⋅b)), donde (τ) es el esfuerzo cortante, (V) es la fuerza cortante, (Q) es el primer momento de área sobre el punto, (I) es el momento de inercia y (b) es la anchura de la sección.

Importancia de comprender las tensiones de flexión y cizallamiento

Un conocimiento profundo de las tensiones de flexión y cizalladura es esencial para el diseño y análisis de vigas en ingeniería. Estas tensiones determinan la capacidad de la viga para soportar cargas sin fallar. Los ingenieros deben calcular con precisión y tener en cuenta estas tensiones para garantizar que el diseño de la viga sea seguro y eficiente.

Acontecimientos recientes

Los avances en la ciencia de los materiales y los métodos computacionales han mejorado enormemente la precisión del análisis de tensiones en vigas. Las técnicas modernas permiten analizar geometrías de vigas y condiciones de carga más complejas, lo que mejora el rendimiento estructural y la eficiencia material de las vigas utilizadas en diversas aplicaciones de ingeniería.

Conceptos y diagramas de fuerza cortante y momento flector

Definición de fuerza cortante

El esfuerzo cortante es un concepto fundamental de la ingeniería estructural que se refiere a la fuerza interna que actúa paralelamente a la sección transversal de una viga. Es el resultado de cargas externas aplicadas perpendicularmente a la longitud de la viga, que hacen que el material ceda o se deslice a lo largo de un plano paralelo a la sección transversal de la viga. Esta fuerza puede afectar significativamente a la integridad estructural de la viga y debe analizarse y comprenderse cuidadosamente en el diseño de vigas.

Definición de momento flector

El momento flector es otro concepto esencial en el análisis de vigas, y representa el momento interno que hace que una viga se doble. Se crea por cargas externas que producen fuerzas rotacionales a lo largo de la viga. El momento flector en cualquier sección de la viga es la suma de los momentos debidos a las cargas externas en un lado de la sección. Comprender los momentos flectores es crucial para predecir cómo se deformará una viga en distintas condiciones de carga.

Importancia en el análisis de vigas

Analizar los esfuerzos cortantes y los momentos flectores es esencial para diseñar elementos estructurales seguros, ya que ayuda a los ingenieros a determinar dónde se producen las tensiones máximas dentro de una viga. Al comprender la distribución de estas fuerzas internas, los ingenieros pueden tomar decisiones informadas sobre el material, la forma de la sección transversal y las dimensiones de la viga.

Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Diagramas de fuerza cortante

Los diagramas de esfuerzo cortante representan gráficamente la variación del esfuerzo cortante a lo largo de una viga. Estos diagramas se construyen trazando los valores del esfuerzo cortante en varios puntos a lo largo de la viga. Las principales características de los diagramas de esfuerzo cortante son:

• Cargas concentradas: Provocan un cambio brusco (escalón) en el diagrama de fuerzas de cizallamiento.
• Cargas distribuidas: Dan lugar a un cambio lineal o cuadrático en el diagrama del esfuerzo cortante, dependiendo de si la distribución de la carga es uniforme o variable.
• Punto de cizalladura cero: Punto en el que el esfuerzo cortante es nulo, lo que indica un máximo o mínimo local en el diagrama de momentos flectores.

Diagramas de momentos de flexión

Los diagramas de momentos flectores ilustran la variación de los momentos flectores a lo largo de una viga. Estos diagramas se crean trazando los valores del momento flector en diferentes puntos a lo largo de la viga. Algunos aspectos importantes de los diagramas de momentos flectores son:

• Momentos de concentración: Provocan cambios bruscos en el diagrama de momentos flectores.
• Cargas distribuidas: Estos conducen a cambios cuadráticos en el diagrama del momento flector.
• Momento de flexión máximo: A menudo se produce en el punto de cortante cero, que es crítico para el diseño de vigas.

Dibujo de diagramas de esfuerzo cortante y momento flector

Para dibujar diagramas de esfuerzo cortante y momento flector, siga estos pasos:

1. Diagrama de cuerpo libre: Comience dibujando la viga y marcando todas las fuerzas externas y reacciones de apoyo.
2. Calcular fuerzas y momentos de reacción: Determinarlos en los apoyos mediante ecuaciones de equilibrio.
3. Diagrama de fuerza cortante: Trace el efecto de cada carga a través de la viga para visualizar la variación de la fuerza cortante.
4. Diagrama de momentos de flexión: Integrar el diagrama de esfuerzos cortantes para representar la variación del momento flector a lo largo de la viga.

Ejemplos prácticos

Para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en su punto medio, comience dibujando la viga y marcando la carga y los apoyos. Calcule las reacciones en los apoyos, que serán iguales y opuestas a la mitad de la carga aplicada. Trace el diagrama de esfuerzos cortantes, observando el cambio brusco en el punto de carga. Por último, trace el diagrama del momento flector integrando los valores de la fuerza cortante, mostrando un pico en el punto de carga.

Derivación y explicación de las fórmulas de esfuerzo cortante (τ=(VQ)/(It))

La fórmula del esfuerzo cortante (τ=(VQ)/(It)) es crucial para comprender cómo se distribuye el esfuerzo cortante en las vigas. Esta fórmula, derivada de los principios de la mecánica de materiales, ayuda a analizar las tensiones internas que se producen cuando las vigas se someten a cargas externas.

Variables y su significado

• (τ): Esfuerzo cortante en un punto específico de la viga.
• (V): Esfuerzo cortante que actúa sobre la viga en la sección en la que se calcula el esfuerzo cortante.
• (Q): Primer momento de la zona situada por encima o por debajo del punto en el que se calcula el esfuerzo cortante, en relación con el eje neutro.
• (I): Momento de inercia de toda la sección transversal en torno al eje neutro.
• (t): Espesor de la viga en el punto de interés, normalmente la anchura de la viga en la dirección del esfuerzo cortante.

Derivación de la fórmula

La derivación de la fórmula del esfuerzo cortante implica varios pasos, empezando por comprender cómo la fuerza cortante y el momento afectan a la viga cuando se somete a flexión. Cuando una viga se dobla, experimenta tanto fuerzas cortantes como momentos flectores. El esfuerzo cortante (V) actúa paralelo a la sección transversal, mientras que el momento flector (M) actúa perpendicular a ella.

Considerando un elemento diferencial de la sección transversal de la viga, el esfuerzo cortante (τ) dentro de este elemento varía a lo largo de la altura de la sección transversal de la viga. Para simplificar, supongamos que la sección de la viga es rectangular.

Para alcanzar el equilibrio, la suma de los esfuerzos cortantes internos debe ser igual al esfuerzo cortante externo (V). El esfuerzo cortante interno es la integral del esfuerzo cortante (τ) sobre el área de la sección transversal.

El primer momento de área (Q) se calcula para la parte de la sección transversal situada por encima o por debajo del punto de interés. Es (Q=∫ydA), donde (y) es la distancia desde el eje neutro y (dA) es el elemento de área pequeña.

El momento de inercia (I) mide la resistencia de la viga a la flexión. Se calcula como (
I=∫y²dA).

Combinando las expresiones de equilibrio, primer momento de área (Q) y momento de inercia (I), y considerando la geometría de la sección transversal de la viga, se obtiene la fórmula del esfuerzo cortante (τ=(VQ)/(It)).

Ejemplos de cálculo

Apliquemos la fórmula del esfuerzo cortante a una viga rectangular con un esfuerzo cortante conocido (V).

1. Determinar la fuerza cortante (V): Supongamos que (V=5000N).

2. Calcular el momento de inercia (I): Para una sección transversal rectangular con una anchura (b) y una altura (h), (I=(bh³)/12). Si (b=0,1m) y (h = 0,2m), entonces (I=(0.1×(0.2)³)/12=6.67×10^-5m⁴).

3. Hallar el primer momento del área (Q): Para la zona situada por encima del punto de interés (a media altura), (Q=1/2⋅A⋅y). Si se considera el área por encima del eje neutro (mitad superior), (A=0,1×0,1=0,01m²) y (y=0,1/2=0,05m). Por lo tanto, (Q=0,01×0,05=5×10^-4m³).

4. Evaluar el espesor (t): El espesor (t) en el punto de interés es la anchura de la viga, (t=0,1m).

5. Calcular el esfuerzo cortante (τ): Utilizando la fórmula (τ=(VQ)/(It)), sustituya los valores: (τ=(5000×5×10^-4)/(6.67×10^-5×0,1)=37,5kPa).

   
   

Comprender el esfuerzo cortante de flexión

La distribución del esfuerzo cortante dentro de una viga no es uniforme. Para una viga rectangular:

• Esfuerzo cortante máximo: Se produce en el eje neutro y disminuye hacia las superficies superior e inferior.
• Distribución de tensiones: La distribución sigue una curva parabólica, con tensión de cizallamiento cero en las fibras exteriores y máxima en el centro.

Implicaciones prácticas

El cálculo preciso y la comprensión del esfuerzo cortante son vitales para la seguridad y la integridad de las vigas. Esto incluye garantizar que el esfuerzo cortante se mantiene dentro de los límites del material para evitar fallos y elegir las formas de viga y los materiales adecuados para un rendimiento óptimo.

Distribución del esfuerzo cortante en diferentes secciones de viga

Distribución del esfuerzo cortante

La distribución del esfuerzo cortante en las vigas es crucial en el análisis y diseño estructural. La distribución varía en función de la forma de la sección transversal de la viga y de las cargas aplicadas.

Sección transversal de la viga rectangular

En una viga rectangular, la distribución del esfuerzo cortante es parabólica. El esfuerzo cortante máximo se produce en el eje neutro (el centro de la altura de la viga) y disminuye linealmente hasta cero en las superficies superior e inferior.

Para calcular el esfuerzo cortante máximo en una viga rectangular, utiliza la fórmula:
τ_max=(3V)/(2A)
donde (V) es la fuerza cortante y (A) es el área de la sección transversal.

El esfuerzo cortante (τ) a una distancia (y) del eje neutro viene dado por:
τ=(3V)/(2A)(1-4y²/h²)
donde (h) es la altura de la viga. Esto muestra una variación cuadrática, alcanzando un máximo en el eje neutro y disminuyendo a cero en los límites.

Sección transversal de la viga en I

A diferencia de las vigas rectangulares, la distribución de los esfuerzos cortantes en las vigas en I es más compleja debido a las alas y a la estructura del alma.

El alma soporta principalmente el esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante máximo se produce en el eje neutro y puede calcularse mediante:
τ=(VQ)/(It)
donde (Q) es el primer momento de área de la porción de la sección transversal por encima o por debajo del punto donde se calcula el esfuerzo cortante, (I) es el momento de inercia y (t) es el espesor del alma.

En las vigas en I, el esfuerzo cortante en las alas es mucho menor. La mayor parte del esfuerzo cortante se concentra en el alma.

Análisis comparativo con diagramas

La comparación de diferentes secciones transversales de vigas pone de manifiesto la importancia de la geometría en la distribución del esfuerzo cortante.

Por ejemplo, en una típica viga en I utilizada en puentes, el alma soporta la mayor parte del esfuerzo cortante, mientras que las alas contribuyen a la resistencia a la flexión. Mientras que las vigas rectangulares muestran una distribución suave y parabólica, las vigas en I concentran el esfuerzo cortante en el alma. Esta concentración requiere un diseño cuidadoso para evitar el pandeo del alma o el fallo por cizalladura.

Las vigas en I son eficientes en flexión debido a su elevado momento de inercia, pero requieren un análisis detallado de los esfuerzos cortantes. Las vigas rectangulares, aunque más sencillas, distribuyen el esfuerzo cortante de forma más uniforme, pero pueden no ser tan eficaces a flexión.

Comprender estas distribuciones ayuda a los ingenieros a diseñar vigas que puedan soportar con seguridad las cargas aplicadas sin sobrepasar los límites de los materiales.

Comparación entre la tensión normal y la tensión cortante en el diseño de vigas

Definición de tensión normal

La tensión normal, a menudo denominada tensión de flexión, se produce en las vigas cuando fuerzas externas provocan su flexión. Esta tensión es el resultado de momentos flectores, que crean tensión en un lado de la viga y compresión en el otro. La tensión normal (σ) se calcula mediante la fórmula:

donde:

• (M) es el momento flector,
• (y) es la distancia al eje neutro,
• (I) es el momento de inercia.

Definición de esfuerzo cortante

El esfuerzo cortante se produce cuando las fuerzas actúan perpendicularmente al eje de la viga, haciendo que las capas del material se deslicen entre sí. Esta tensión es más significativa cerca de los apoyos y disminuye hacia el centro de la viga para vigas simplemente apoyadas. El esfuerzo cortante medio (τ_media) se calcula mediante:

donde:

• (F) es la fuerza cortante aplicada,
• (A) es el área de la sección transversal.

El esfuerzo cortante sigue una distribución parabólica, con el esfuerzo máximo en el eje neutro y disminuyendo hacia las superficies superior e inferior de la viga.

Diferencias entre tensión normal y tensión cortante

Naturaleza de las fuerzas

• Tensión normal: Causado por momentos de flexión, que dan lugar a tensión y compresión a lo largo de la longitud de la viga.
• Esfuerzo cortante: Es el resultado de fuerzas de cizallamiento que actúan perpendicularmente al eje de la viga, provocando el deslizamiento entre capas de material.

Distribución de tensiones

• Tensión normal: Varía linealmente a lo largo de la altura de la viga, con una tensión máxima en las fibras más externas y alejadas del eje neutro.
• Esfuerzo cortante: Sigue una distribución parabólica, con la tensión máxima en el eje neutro y disminuyendo hasta cero en los límites.

Modos de fallo

• Tensión normal: Puede provocar el fallo por flexión, sobre todo en vigas esbeltas o largas. Este tipo de fallo se produce cuando el material supera su resistencia a la tracción o a la compresión.
• Esfuerzo cortante: Puede provocar el fallo por cizallamiento, que es más frecuente en vigas gruesas o cortas. El fallo por cizallamiento se produce cuando el material no puede soportar las fuerzas de deslizamiento.

Implicaciones prácticas en el diseño de vigas

La elección de materiales con una elevada relación resistencia-peso es crucial para optimizar el diseño de las vigas. Los materiales deben resistir los esfuerzos de flexión y cizalladura sin comprometer la integridad estructural. Los materiales compuestos avanzados y las aleaciones de acero de alta resistencia suelen utilizarse por su rendimiento superior.

Selección de materiales

La selección de materiales con una elevada relación resistencia-peso es esencial para un diseño eficaz de las vigas. Estos materiales deben resistir los esfuerzos de flexión y cizalladura para garantizar la integridad estructural de la viga. Los materiales compuestos avanzados y las aleaciones de acero de alta resistencia suelen elegirse por sus características de rendimiento mejoradas.

Forma del haz

La forma de la sección transversal de una viga influye significativamente en su capacidad para resistir esfuerzos de flexión y cizalladura. Las vigas rectangulares distribuyen el esfuerzo cortante de forma más uniforme, pero pueden no ser tan eficientes en flexión. Las vigas en I concentran el esfuerzo cortante en el alma, lo que requiere un diseño cuidadoso para evitar el pandeo del alma.

Consideraciones sobre el diseño

Los ingenieros deben tener en cuenta tanto los esfuerzos de flexión como los de cizalladura al diseñar las vigas. Esto incluye realizar cálculos detallados para garantizar que las dimensiones de la viga y las propiedades del material puedan soportar las cargas aplicadas. La elección de la forma y el material de la viga influye directamente en su rendimiento y seguridad.

Acontecimientos recientes

Los avances en la ciencia de los materiales han permitido desarrollar nuevos materiales con mejores propiedades de resistencia. Estos materiales ofrecen una mayor resistencia a los esfuerzos de flexión y cizalladura, lo que permite diseñar vigas más eficientes. Los métodos computacionales también han evolucionado, permitiendo un análisis más preciso de complejas geometrías de vigas y condiciones de carga.

Fórmula de flexión y su aplicación en el diseño de vigas

Explicación de la fórmula de flexión

La fórmula de flexión, también conocida como fórmula de flexión, ayuda a calcular la tensión de flexión en cualquier punto a lo largo de la longitud de una viga. Se expresa como

donde:

• (σ) es el esfuerzo de flexión,
• (M) es el momento flector,
• (c) es la distancia al eje neutro,
• (I) es el momento de inercia de la sección transversal de la viga.

Variables y su significado

Momento de inercia (I)

El momento de inercia mide la resistencia a la flexión de una viga y depende de la forma y el tamaño de su sección transversal. Para una sección transversal rectangular, se calcula como:

donde (b) es la anchura y (h) la altura.

Momento flector (M) y distancia del eje neutro (c)

El momento flector (M) en una sección de una viga es el resultado de cargas, reacciones y momentos externos. La distancia al eje neutro (c) se mide a partir del eje que pasa por el centroide de la sección transversal de la viga, donde el esfuerzo de flexión es nulo.

Ejemplos de cálculo

Para una viga simplemente apoyada de sección rectangular sometida a una carga puntual central, el momento flector máximo en el punto medio es (M=1/4PL). Utilizando una sección transversal rectangular con anchura (b) y altura (h), el momento de inercia es:

La distancia desde el eje neutro es:

El esfuerzo de flexión es entonces:

Aplicaciones prácticas

Al diseñar vigas, los ingenieros tienen en cuenta propiedades de los materiales como el módulo de elasticidad y el límite elástico, que influyen en la resistencia de la viga a la flexión. Un dimensionado adecuado de la anchura y la altura de la viga garantiza que pueda soportar las cargas previstas sin una flexión excesiva. Además, los ingenieros deben comprobar que la armadura sea suficiente, sobre todo en las vigas de hormigón, y abordar las tensiones de cizallamiento de las fuerzas transversales para evitar el fallo.

Condiciones de resistencia y criterios de fallo relacionados con las tensiones de flexión y cizalladura

Estado de resistencia de las vigas

El estado de resistencia de una viga se refiere a su capacidad para soportar cargas aplicadas sin fallar debido a una tensión excesiva. Las vigas están sometidas a tensiones de flexión y de cizalladura, que pueden provocar distintos tipos de fallo. Comprender estas condiciones es crucial para un diseño estructural seguro y eficiente.

Resistencia a la flexión

La resistencia a la flexión, también conocida como resistencia a la flexión, es la tensión máxima que puede soportar una viga sin fallar, determinada por la tensión máxima de flexión que puede soportar el material. El esfuerzo de flexión en una viga viene dado por la fórmula de flexión:

donde:

• (σ) es el esfuerzo de flexión,
• (M) es el momento flector,
• (c) es la distancia del eje neutro a la fibra más externa,
• (I) es el momento de inercia de la sección transversal.

El esfuerzo máximo de flexión no debe superar el límite elástico del material en el caso de los materiales dúctiles o el límite último en el caso de los materiales frágiles, ya que esto puede provocar una deformación permanente o una fractura.

Resistencia al cizallamiento

La resistencia al cizallamiento es la capacidad de una viga para resistir fuerzas que provocan deslizamientos o cortes sin fallar. El esfuerzo cortante se calcula mediante la fórmula:

donde:

• (τ) es el esfuerzo cortante,
• (V) es la fuerza cortante,
• (Q) es el primer momento del área por encima del punto donde se calcula el esfuerzo cortante,
• (I) es el momento de inercia,
• (t) es el espesor del material en el punto de interés.

El esfuerzo cortante máximo no debe superar la resistencia al corte del material. Si lo hace, la viga puede sufrir un fallo por cizallamiento, caracterizado por el deslizamiento o la rotura a lo largo del plano de la fuerza de cizallamiento aplicada.

Criterios de fallo en el diseño estructural

Comprender los criterios de fallo relacionados con los esfuerzos de flexión y cizalladura es esencial para diseñar vigas seguras y fiables. El fallo puede producirse de diferentes modos en función del tipo de tensión y de las propiedades del material de la viga.

Fallo de flexión

El fallo por flexión se produce cuando el esfuerzo de flexión supera la resistencia del material, lo que provoca la elasticidad en materiales dúctiles o la fractura en materiales frágiles. Este tipo de fallo es habitual en vigas esbeltas sometidas a momentos flectores importantes.

Fallo por cizallamiento

El fallo por cizallamiento se produce cuando el esfuerzo cortante supera la resistencia al cizallamiento del material. Esto es más probable en vigas cortas y gruesas en las que los esfuerzos cortantes son elevados en relación con los momentos flectores. El fallo por cizallamiento puede identificarse por grietas por cizallamiento o pandeo del alma en vigas con almas delgadas, como las vigas en I.

Importancia de comprender la resistencia de las vigas

El diseño de vigas para que soporten esfuerzos de flexión y cizalladura implica una cuidadosa consideración de las propiedades del material, las dimensiones de la sección transversal y las condiciones de carga. Los ingenieros deben asegurarse de que las tensiones en la viga no superen los límites de resistencia del material para evitar el fallo.

Selección de materiales

La elección de materiales adecuados con un alto límite elástico y resistencia al cizallamiento es crucial para el diseño de vigas. Materiales como el acero de alta resistencia, el hormigón armado y los compuestos avanzados ofrecen un rendimiento superior bajo esfuerzos de flexión y cizalladura.

Diseño transversal

La forma y el tamaño de la sección transversal de la viga influyen significativamente en su resistencia. Las secciones transversales más comunes son las rectangulares, las de viga en I y las circulares, cada una de las cuales presenta distintas ventajas para resistir fuerzas de flexión y cortantes.

Refuerzos y detalles

Para aumentar la capacidad a cortante de las vigas sometidas a grandes esfuerzos cortantes, pueden utilizarse refuerzos adicionales, como estribos de cortante o rigidizadores de alma. Un detallado adecuado garantiza que la viga pueda distribuir eficazmente las tensiones y evitar el fallo localizado.

Comprender las condiciones de resistencia y los criterios de fallo relacionados con los esfuerzos de flexión y cizalladura permite a los ingenieros diseñar vigas seguras y eficientes, capaces de soportar las cargas requeridas sin riesgo de fallo.

Ejemplos prácticos y pasos de cálculo para los tipos de vigas más comunes

Ejemplo de cálculo de una viga rectangular

Viga simplemente apoyada con carga puntual central

Imagine una viga rectangular simplemente apoyada sometida a una carga puntual central ( P ). Este tipo de viga se encuentra habitualmente en puentes y estructuras de edificios, donde la comprensión de los esfuerzos cortantes es crucial para la seguridad.

1. Determinar la fuerza cortante y calcular el momento de inercia:

   • El esfuerzo cortante en cada apoyo es la mitad de la carga total, ( V=P/2 ).
   • El momento de inercia para una sección transversal rectangular es ( I=(bh³)/12 ).

2. Calcular el primer momento del área:

   • Para una sección rectangular, el primer momento del área ( Q ) se calcula como:
   • ( Q=1/2⋅A⋅y ), donde ( A ) es el área sobre el punto de interés y ( y ) es la distancia desde el eje neutro.
   • Sustituyendo los valores, ( Q=1/2⋅b⋅h/2⋅h/4=1/8bh² ).

3. Calcular el esfuerzo cortante:

   • El esfuerzo cortante ( τ ) se determina mediante la fórmula ( τ=(VQ)/(It) ), siendo ( t ) la anchura ( b ) de la viga.
   • Desglosando el cálculo:
   • τ=(P/2⋅(bh²)/8)/((bh³)/12⋅b).
   • Simplificando, ( τ=(3P)/(4bh) ).

Ejemplo de cálculo de una viga en I

Viga en I simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Imaginemos una viga en I simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida ( w ) sobre su longitud ( L ). Las vigas en I se utilizan mucho en la construcción debido a su eficacia para soportar cargas de flexión.

1. Determinar la fuerza cortante y calcular el momento de inercia:

   • El esfuerzo cortante en cada apoyo es la mitad de la carga total, ( V=1/2wL ).
   • El momento de inercia ( I ) de una viga en I suele facilitarse o puede calcularse a partir de las dimensiones del ala y del alma.

2. Calcular el primer momento del área:

   • Para el alma de la viga en I, el primer momento del área ( Q ) se calcula para el área situada por encima del punto de interés, normalmente en el eje neutro.
   • Si la altura de la banda es ( h_w ) y el espesor es ( t_w ), ( Q=1/4h_w²t_w ).

3. Calcular el esfuerzo cortante:

   • El esfuerzo cortante ( τ ) se determina mediante la fórmula ( τ=(VQ)/(It) ), donde ( t ) es el espesor del alma ( t_w ).
   • Desglosando el cálculo:
   • ( τ=(1/2wL⋅1/4h_w²t_w)/(I⋅t_w))
   • Simplificando, ( τ=(wLh_w²)/(8I) ).

Viga en voladizo con carga uniforme

Viga en voladizo con carga uniformemente distribuida

Imagine una viga en voladizo sometida a una carga uniformemente distribuida ( w ) sobre su longitud ( L ). Las vigas en voladizo se utilizan a menudo en balcones y estructuras en voladizo, donde soportan cargas en un extremo mientras están fijadas en el otro.

1. Determinar la fuerza cortante y calcular el momento de inercia:

   • El esfuerzo cortante en el apoyo fijo es la carga total, ( V = wL ).
   • El momento de inercia para una sección transversal rectangular es (I=1/12bh³ ).

2. Calcular el primer momento del área:

   • Para una sección rectangular, el primer momento del área ( Q ) se calcula como:
   • ( Q=1/2⋅b⋅h/2⋅h/4=1/8bh² ).

3. Calcular el esfuerzo cortante:

   • El esfuerzo cortante ( τ ) se determina mediante la fórmula ( τ=(VQ)/(It)), siendo ( t ) la anchura ( b ) de la viga.
   • Desglosando el cálculo:
   • ( τ=(wL⋅1/8bh²)/(1/12bh³⋅b )
   • Simplificando, ( τ=(3wL)/(2bh)).

Comprender estos cálculos es esencial para garantizar la seguridad y la integridad estructural de las vigas en diversas condiciones de carga.

Preguntas frecuentes

A continuación encontrará respuestas a algunas preguntas frecuentes:

¿Qué es el esfuerzo cortante de flexión y cómo afecta a la resistencia de una viga?

El esfuerzo cortante de flexión es un tipo de esfuerzo interno que se produce en una viga cuando está sometida a cargas transversales. Esta tensión se produce paralelamente a la sección transversal de la viga y es el resultado de la fuerza cortante que actúa a lo largo de la longitud de la viga. Es fundamentalmente diferente de las tensiones normales causadas por los momentos flectores, que actúan perpendicularmente a la sección transversal.

La generación del esfuerzo cortante de flexión se debe a la resistencia de las capas de material de la viga a deslizarse unas sobre otras bajo carga. Esta resistencia al deslizamiento es similar a la fricción experimentada entre naipes apilados cuando se doblan. La distribución del esfuerzo cortante en la sección transversal de la viga suele alcanzar un máximo cerca del eje neutro y disminuir hacia los bordes exteriores.

El esfuerzo cortante de flexión afecta significativamente a la resistencia de las vigas. Un esfuerzo de cizalladura excesivo puede provocar un fallo por cizalladura, en el que el material falla por agrietamiento o deslizamiento a lo largo de planos paralelos a la fuerza aplicada. Esto es diferente del fallo por flexión, que implica elasticidad o rotura debido a tensiones normales. En el diseño de vigas, especialmente si son cortas, gruesas o están muy cargadas, el esfuerzo cortante de flexión puede ser el factor dominante, por lo que es necesario tenerlo muy en cuenta para garantizar que se mantiene dentro de los límites de seguridad y evitar un fallo prematuro. Además, el esfuerzo cortante de flexión influye en el comportamiento de deflexión de las vigas, contribuyendo a la integridad y el rendimiento estructural global.

¿Cómo se distribuye el esfuerzo cortante en la sección transversal de una viga?

La distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la sección transversal de una viga es un aspecto importante en su diseño y análisis. El esfuerzo cortante se produce debido a las fuerzas cortantes que actúan sobre la viga y varía a lo largo de la altura de la sección transversal. Para una viga rectangular, la distribución es parabólica, con un esfuerzo cortante nulo en las superficies superior e inferior y un máximo en el eje neutro. Este esfuerzo cortante máximo suele ser 50% mayor que el esfuerzo cortante medio. El centroide, por el que pasa el eje neutro, desempeña un papel crucial en esta distribución simétrica. Además, los esfuerzos cortantes horizontales entre las capas horizontales de la viga son iguales en magnitud a los esfuerzos cortantes transversales verticales en los puntos correspondientes. Comprender esta distribución es esencial para evaluar la resistencia de la viga y prevenir el fallo en condiciones de carga.

¿Qué fórmulas se utilizan para calcular el esfuerzo cortante en vigas?

El esfuerzo cortante en vigas se calcula utilizando la fórmula general de esfuerzo cortante:

donde:

• ( τ ) es el esfuerzo cortante,
• ( V ) es la fuerza cortante,
• ( Q ) es el primer momento del área (el área de la parte de la sección transversal de la viga situada por encima o por debajo del eje neutro, multiplicada por la distancia del eje neutro al centroide de dicha área),
• ( I ) es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en torno a su eje neutro,
• ( t ) es el espesor de la viga en el punto donde se calcula el esfuerzo cortante.

Para formas de viga específicas, se utilizan fórmulas adicionales:

• Vigas rectangulares: El esfuerzo cortante máximo se calcula como:
  τ_max=(3V)/(2A),
  donde ( A ) es el área de la sección transversal. La distribución del esfuerzo cortante varía con la distancia al eje neutro:
  τ=(3V)/(2A)(1-y²/(d/2)²),
  donde ( y ) es la distancia al eje neutro y ( d ) es la profundidad del haz.
• Vigas circulares: El esfuerzo cortante máximo en el eje centroidal es:
  τ_max=4V/(πd²),
  donde ( d ) es el diámetro de la viga circular.
• Vigas en I: El cálculo del esfuerzo cortante máximo es más complejo debido a la geometría de la viga, e implica términos relacionados con las dimensiones del alma y del ala.

Comprender estas fórmulas y su aplicación es crucial para analizar la resistencia de las vigas y garantizar la integridad estructural en diversas condiciones de carga.

¿Cómo interactúan el momento flector y el esfuerzo cortante en el diseño de vigas?

En el diseño de vigas, el momento flector y el esfuerzo cortante son fuerzas internas críticas que interactúan e influyen significativamente en la resistencia y el comportamiento estructural de la viga. El momento flector (M) induce tensiones de flexión, que varían linealmente a lo largo de la sección transversal de la viga, produciéndose la tensión máxima en las fibras más externas y una tensión nula en el eje neutro. Por otro lado, el esfuerzo cortante (V) genera tensiones cortantes, que siguen una distribución parabólica, con un máximo en el eje neutro y una disminución hasta cero en los bordes exteriores.

La acción simultánea del momento flector y la fuerza cortante significa que una viga debe diseñarse para soportar ambos tipos de esfuerzos. Los momentos flectores contribuyen principalmente a las tensiones de tracción y compresión, afectando a la capacidad de la viga para resistir la flexión, mientras que las fuerzas de corte afectan a la capacidad de corte de la viga. Los ingenieros utilizan diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores para identificar las secciones críticas en las que se producen las tensiones máximas, lo que sirve de guía para la colocación de refuerzos o la selección de secciones transversales de viga adecuadas.

Las relaciones matemáticas que rigen estas tensiones se expresan mediante la fórmula de la tensión de flexión, (σ=My/I), y la fórmula de la tensión de cizalladura, (τ=VQ/(Ib)). Estas fórmulas ponen de manifiesto que las tensiones de flexión dependen del momento y de la geometría, mientras que las tensiones de cizalladura dependen de la fuerza de cizalladura y de la forma de la sección transversal. Comprender la interacción entre el momento flector y el esfuerzo cortante es esencial para diseñar vigas resistentes y seguras.

¿Cuál es la diferencia entre la tensión normal y la tensión cortante en las vigas?

La tensión normal y la tensión de cizalladura en las vigas son fundamentalmente diferentes tipos de tensiones resultantes de condiciones de carga distintas.

La tensión normal (σ) se produce debido a los momentos flectores y actúa perpendicularmente a la sección transversal de la viga. Varía linealmente a través de la profundidad de la viga, siendo nula en el eje neutro y máxima en las fibras más externas, donde puede ser de tracción o de compresión dependiendo de la ubicación relativa al eje neutro. Para calcular la tensión normal se utiliza la fórmula de flexión, σ = My/I, donde M es el momento flector, y es la distancia desde el eje neutro e I es el momento de inercia.

El esfuerzo cortante (τ), por su parte, surge de las fuerzas cortantes que actúan transversalmente al eje longitudinal de la viga. Actúa paralelamente a la sección transversal, variando normalmente de forma no lineal, y el esfuerzo cortante máximo se produce cerca del eje neutro. Para su cálculo se utiliza la fórmula del esfuerzo cortante, τ = VQ/Ib, donde V es el esfuerzo cortante, Q es el primer momento de área, I es el momento de inercia y b es la anchura de la viga en el punto de interés.

¿Qué es la fórmula de flexión y cómo se aplica en el diseño de vigas?

La fórmula de flexión, también conocida como fórmula de flexión, es esencial en el diseño de vigas para calcular las tensiones debidas a los momentos flectores. La fórmula se expresa como

donde:

• (σ) es la tensión de flexión en un punto específico,
• (M) es el momento flector,
• (y) es la distancia desde el eje neutro hasta el punto donde se calcula la tensión,
• (I) es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en torno al eje neutro.

En la aplicación, esta fórmula ayuda a los ingenieros a determinar las tensiones máximas en una viga, que suelen producirse en las superficies superior e inferior más alejadas del eje neutro. Para utilizar la fórmula de flexión, es necesario:

1. Determine las dimensiones de la sección transversal de la viga.
2. Calcula el momento de inercia (I) a partir de estas dimensiones.
3. Identifique el momento flector máximo (M) que actúa sobre la viga.
4. Utiliza la fórmula de flexión para calcular la tensión máxima (σ) en la superficie de la viga.

Este proceso garantiza que el diseño de la viga cumple las normas de resistencia y seguridad necesarias, evitando fallos estructurales en las condiciones de carga previstas.